Quel est le nombre maximum d'arêtes dans un graphe dirigé à n nœuds?
Quel est le nombre maximum d'arêtes dans un graphe dirigé à n nœuds? Y a-t-il une limite supérieure?
Si vous avez N noeuds, il existe des arêtes dirigées N - 1 Pouvant en découler (allant vers tous les autres noeuds). Par conséquent, le nombre maximal d'arêtes est N * (N - 1).
Dans un graphe non orienté (sans multigraphes), la réponse est n * (n-1)/2. Dans un graphe orienté, un bord peut apparaître dans les deux sens entre deux nœuds. La réponse est alors n * (n-1).
graphe dirigé:
Question: Quel est le nombre maximum d'arêtes dans un graphe orienté à n sommets?
- Supposons qu'il n'y ait pas de boucles automatiques.
- Supposons qu'il existe au plus un bord d'un sommet de départ donné à un sommet de fin donné.
Chaque bord est spécifié par son sommet de départ et son sommet de fin. Il y a n choix pour le sommet de départ. Comme il n'y a pas de boucle automatique, il y a n-1 choix pour le sommet d'extrémité. Multiplier ces éléments ensemble compte tous les choix possibles.
Réponse: n(n−1)
graphe non dirigé
Question: Quel est le nombre maximum d'arêtes dans un graphe non orienté avec n sommets?
- Supposons qu'il n'y ait pas de boucles automatiques.
- Supposons qu'il existe au plus un bord d'un sommet de départ donné à un sommet de fin donné.
Dans un graphe non orienté, chaque Edge est spécifié par ses deux extrémités et l'ordre n'a pas d'importance. Le nombre d'arêtes est donc le nombre de sous-ensembles de taille 2 choisis dans l'ensemble de sommets. Puisque l'ensemble des sommets a la taille n, le nombre de tels sous-ensembles est donné par le coefficient binomial C (n, 2) (également appelé "n choisissez 2"). En utilisant la formule pour les coefficients binomiaux, C (n, 2) = n (n-1)/2.
Réponse: (n*(n-1))/2
En plus de l'explication intuitive fournie par Chris Smith, nous pouvons comprendre pourquoi c'est le cas sous un angle différent: considérer les graphes non orientés.
Pour voir pourquoi dans un graphe DIRIGÉ , la réponse est n*(n-1), considérons un graphe non orienté (ce qui signifie simplement que s'il existe un lien entre deux nœuds (A et B) alors vous pouvez aller dans les deux sens: de A à B et de B à A). Le nombre maximal d'arêtes dans un graphe non dirigé est n(n-1)/2 et, évidemment, dans un graphe dirigé, il y a deux fois plus.
Bon , vous pourriez demander, mais pourquoi existe-t-il un maximum de n(n-1)/2 arêtes dans un ndirectedgraphe? Pour cela, considérons n points (nœuds) et demande combien d'arêtes on peut faire à partir du premier point. De toute évidence, n-1 Borde. Maintenant, combien d'arêtes peut-on tirer du deuxième point, étant donné que vous avez connecté le premier point? Puisque le premier et le deuxième point sont déjà connectés, il existe des arêtes n-2 Qui peuvent être réalisées. Etc. Donc, la somme de tous les bords est:
Sum = (n-1)+(n-2)+(n-3)+...+3+2+1
Comme il y a des termes (n-1) Dans la somme, et que la somme moyenne de cette série est ((n-1)+1)/2 {(Dernier + premier)/2}, Sum = n(n-1)/2
Si le graphe n'est pas un graphe multiple, il est clairement n * (n - 1), chaque nœud pouvant au plus avoir des arêtes à chaque nœud. S'il s'agit d'un multigraphe, il n'y a pas de limite maximale.
En d'autres termes:
Un graphique complet est un graphique non dirigé où chaque paire distincte de sommets est associée à un bord unique. Ceci est intuitif dans le sens où vous choisissez en gros 2 sommets dans une collection de n sommets.
nC2 = n!/(n-2)!*2! = n(n-1)/2
C'est le nombre maximum d'arêtes qu'un graphe non dirigé peut avoir. Désormais, pour les graphes dirigés, chaque bord est converti en deux bords dirigés. Donc, il suffit de multiplier le résultat précédent par deux. Cela vous donne le résultat: n (n-1)
Dans un graphe orienté comportant N sommets, chaque sommet peut se connecter à N-1 autres sommets du graphe (en supposant qu'il n'y ait pas de boucle automatique). Par conséquent, le nombre total d'arêtes peut être N (N-1).
La bonne réponse est n * (n-1)/2. Chaque bord a été compté deux fois, d'où la division par 2. Un graphe complet a le nombre maximum de bords, qui est donné par n choisissez 2 = n * (n-1)/2.
Dans le graphique avec boucle automatique
max edges= n*n
comme nous avons 4 nœuds (sommet)
4 nodes = 16 edges= 4*4
Il peut y avoir autant que n(n-1)/2 arêtes dans le graphique si le mode multi-bords n'est pas autorisé.
Et ceci est réalisable si nous étiquetons les sommets 1,2,...,n et il y a un bord de i à jsi i>j.
Voir ici .
Undirected est N ^ 2. Simple - chaque nœud a N options d’arêtes (lui-même inclus), total de N nœuds donc N * N